فرض تأليفي عدد 2 في الرياضيات السنة السّابعة أساسي الثلاثي 2 + الإصلاح
مفهوم الكسور العشريّة:
الكسور العشرية هي أعداد تمثل أجزاء من الواحد، وتُكتب باستخدام الفاصلة العشرية بدلًا من الكسر الاعتيادي.
مكونات الكسر العشري
- الجزء الصحيح يقع على يسار الفاصلة العشرية ويمثل العدد الكامل.
- الجزء العشري يقع على يمين الفاصلة ويمثل الأجزاء من الواحد (عُشر، مئة، ألف...).
أمثلة
- 0.5 = نصف (1/2)
- 0.25 = ربع (1/4)
- 1.75 = واحد و75 من 100 (1 + 75/100)
أهمية الكسور العشرية
- تُستخدم في الحسابات المالية، الأطوال، الأوزان، والقياسات اليومية.
- تسهّل العمليات الحسابية مقارنة بالكسور العادية، خاصة عند الجمع والطرح.
العوامل الأوّليّة :
هي الأعداد التي لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى العدد 1 دون أن ينتج عدد صحيح آخر. أي أن لها عاملين فقط: 1 ونفسها.
أمثلة على الأعداد الأولية:
2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، ...
خصائص الأعداد الأولية:
- أصغر عدد أولي هو 2، وهو العدد الزوجي الأولي الوحيد.
- جميع الأعداد الأولية الأخرى فردية.
- لا يمكن تقسيم أي عدد أولي إلا على 1 ونفسه دون أن ينتج عدد صحيح آخر.
- العدد 1 ليس عددًا أوليًا؛ لأنه له عامل واحد فقط.
تحليل عدد إلى عوامله الأولية:
أي عدد مركّب (غير أولي) يمكن تفكيكه إلى عوامل أولية، وهو ما يُعرف بـ **التحليل إلى العوامل الأولية**.
مثال:
تحليل العدد **30** إلى عوامله الأولية:
30 = 2 × 3 × 5
استخدامات الأعداد الأولية:
- في التشفير وأمن المعلومات (مثل خوارزمية RSA).
- في الرياضيات لدراسة نظرية الأعداد.
- في البرمجة والخوارزميات لتحسين أداء العمليات الحسابية.
المركز القائم للمثلث :
المركز القائم للمثلث هو نقطة تقاطع الارتفاعات الثلاثة للمثلث. يُعرف أيضًا باسم المتقابل الارتفاعي أو المتعامد المركزي (Orthocenter).
خصائصه:
- يقع داخل المثلث إذا كان حاد الزوايا.
- يقع على أحد أضلاع المثلث إذا كان قائم الزاوية (وهو عند رأس الزاوية القائمة).
- يقع خارج المثلث إذا كان منفرج الزاوية.
كيفية إيجاده رياضيًا:
لحساب إحداثيات المركز القائم لمثلث بمعرفة رؤوسه A(x1,y1)A(x_1, y_1)A(x1,y1)، B(x2,y2)B(x_2, y_2)B(x2,y2)، وC(x3,y3)C(x_3, y_3)C(x3,y3):
- حساب ميل كل ضلع ثم إيجاد ميل ارتفاعه باستخدام العلاقة: m_{\text{الارتفاع}} = -\frac{1}{m_{\text{الضلع}}
- إيجاد معادلات الارتفاعات الثلاثة.
- حل المعادلتين الناتجتين عن تقاطع أي ارتفاعين لإيجاد نقطة تقاطعهما، وهي إحداثيات المركز القائم.
الإصلاح:
العدد العشري والغير عشري :
العدد العشري:
هو أي عدد يمكن كتابته باستخدام الفاصلة العشرية، وقد يحتوي على أرقام بعد الفاصلة. يمكن أن يكون عددًا صحيحًا أو كسريًا. أمثلة: 5.2، 3.14، 7.0، 0.75
العدد غير العشري:
هو العدد الذي لا يحتوي على فاصلة عشرية، وهو عدد صحيح بالكامل. أمثلة: 1، 25، 100، -7
كل الأعداد الصحيحة هي غير عشرية، ولكن كل الأعداد العشرية يمكن أن تكون صحيحة إذا لم يكن لها كسور (مثل 7.0 = 7).
تعريف الكسور:
الكسور هي طريقة للتعبير عن الأعداد التي تمثل أجزاءً من كلٍّ. يتكون الكسر من بسط (العدد العلوي) ومقام (العدد السفلي)، ويفصل بينهما خط الكسر (/ أو —).
أنواع الكسور:
- الكسر العادي: مثل 34\frac{3}{4}43، حيث 3 هو البسط و4 هو المقام.
- الكسر العشري: مثل 0.75، وهو شكل عشري للكسر.
- الكسر المختلط: يتكون من عدد صحيح وكسر، مثل 2122\frac{1}{2}221.
- الكسر غير الحقيقي: البسط أكبر من المقام، مثل 73\frac{7}{3}37.
خصائص الكسور:
- يمكن تبسيطها بقسمة البسط والمقام على نفس العدد.
- يمكن تحويلها إلى أعداد عشرية أو نسب مئوية.
- تستخدم في العمليات الحسابية مثل الجمع، الطرح، الضرب، والقسمة.
المثلث المتقايس الأضلاع:
المثلث المتقايس الأضلاع هو المثلث الذي تكون جميع أضلاعه متساوية الطول، وبالتالي تكون جميع زواياه متساوية أيضًا، وكل زاوية منها تساوي \(60^\circ\).
خصائصه:
1. تساوي الأضلاع: جميع الأضلاع لها نفس الطول.
2. تساوي الزوايا: جميع الزوايا الداخلية تساوي \(60^\circ\).
3. تناظر محوري: له **ثلاثة محاور تناظر**، كل منها ينصف زاوية ويقطع الضلع المقابل في المنتصف.
4. تماثل دوراني: يمكن تدويره بزاوية \(120^\circ\) أو \(240^\circ\) حول مركزه ويبقى كما هو.
5. مساحة المثلث: إذا كان طول الضلع \(s\)، فإن مساحته تُحسب بالعلاقة:
\[
A = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2
\]
6. **طول الارتفاع:** يعطى بالعلاقة:
\[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} s
\]
7. الدائرة المحيطة والمحيطة به:
- نصف قطر الدائرة المحيطة: \( R = \frac{s}{\sqrt{3}} \)
- نصف قطر الدائرة الداخلية: \( r = \frac{s}{2\sqrt{3}} \)
أمثلة وتطبيقات:
- يستخدم في تصميم الشعارات والهندسة المعمارية.
- يوجد في التماثلات الطبيعية مثل بلورات الثلج.
- يظهر في الفنون الإسلامية والزخرفة.
مصادر :
للحصول على معلومات دقيقة حول المثلث المتقايس الأضلاع، يمكنك الرجوع إلى المصادر التالية:
- كتاب الهندسة الإقليدية – يمكن العثور عليه في مكتبات الرياضيات أو عبر الإنترنت.
- مواقع تعليم الرياضيات مثل
Khan Academy: https://www.khanacademy.org
Wolfram MathWorld: https://mathworld.wolfram.com
Encyclopedia of Mathematics: https://www.encyclopediaofmath.org
نزار لطفي
كاتب ومحرّر مقالات في جريدة أسبوعيّة محلّيّةنزار لطفي كاتب ومحرّر مقالات في جريدة أسبوعيّة محلّيّة، يتميّز بأسلوبه الواضح والعميق في تناول المواضيع التاريخية. تُعرف كتاباته بالدقة والبحث المدقّق، حيث يعمل على إبراز التفاصيل الدقيقة والأحداث المهمة التي شكلت التاريخ. يُقدّم نزار رؤى تحليلية تسلّط الضوء على الجوانب الإنسانية والسياسية والاجتماعية للتاريخ، مما يجعل مقالاته مرجعًا قيّمًا للقرّاء الذين يبحثون عن فهم أعمق للماضي وتأثيره على الحاضر.