مفهوم الكسور العشريّة:
الكسور العشرية هي أعداد تمثل أجزاء من الواحد، وتُكتب باستخدام الفاصلة العشرية بدلًا من الكسر الاعتيادي.
مكونات الكسر العشري
- الجزء الصحيح يقع على يسار الفاصلة العشرية ويمثل العدد الكامل.
- الجزء العشري يقع على يمين الفاصلة ويمثل الأجزاء من الواحد (عُشر، مئة، ألف...).
أمثلة
- 0.5 = نصف (1/2)
- 0.25 = ربع (1/4)
- 1.75 = واحد و75 من 100 (1 + 75/100)
أهمية الكسور العشرية
- تُستخدم في الحسابات المالية، الأطوال، الأوزان، والقياسات اليومية.
- تسهّل العمليات الحسابية مقارنة بالكسور العادية، خاصة عند الجمع والطرح.
العوامل الأوّليّة :
هي الأعداد التي لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى العدد 1 دون أن ينتج عدد صحيح آخر. أي أن لها عاملين فقط: 1 ونفسها.
أمثلة على الأعداد الأولية:
2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، ...
خصائص الأعداد الأولية:
- أصغر عدد أولي هو 2، وهو العدد الزوجي الأولي الوحيد.
- جميع الأعداد الأولية الأخرى فردية.
- لا يمكن تقسيم أي عدد أولي إلا على 1 ونفسه دون أن ينتج عدد صحيح آخر.
- العدد 1 ليس عددًا أوليًا؛ لأنه له عامل واحد فقط.
تحليل عدد إلى عوامله الأولية:
أي عدد مركّب (غير أولي) يمكن تفكيكه إلى عوامل أولية، وهو ما يُعرف بـ **التحليل إلى العوامل الأولية**.
مثال:
تحليل العدد **30** إلى عوامله الأولية:
30 = 2 × 3 × 5
استخدامات الأعداد الأولية:
- في التشفير وأمن المعلومات (مثل خوارزمية RSA).
- في الرياضيات لدراسة نظرية الأعداد.
- في البرمجة والخوارزميات لتحسين أداء العمليات الحسابية.
المركز القائم للمثلث :
المركز القائم للمثلث هو نقطة تقاطع الارتفاعات الثلاثة للمثلث. يُعرف أيضًا باسم المتقابل الارتفاعي أو المتعامد المركزي (Orthocenter).
خصائصه:
- يقع داخل المثلث إذا كان حاد الزوايا.
- يقع على أحد أضلاع المثلث إذا كان قائم الزاوية (وهو عند رأس الزاوية القائمة).
- يقع خارج المثلث إذا كان منفرج الزاوية.
كيفية إيجاده رياضيًا:
لحساب إحداثيات المركز القائم لمثلث بمعرفة رؤوسه A(x1,y1)A(x_1, y_1)A(x1,y1)، B(x2,y2)B(x_2, y_2)B(x2,y2)، وC(x3,y3)C(x_3, y_3)C(x3,y3):
- حساب ميل كل ضلع ثم إيجاد ميل ارتفاعه باستخدام العلاقة: m_{\text{الارتفاع}} = -\frac{1}{m_{\text{الضلع}}
- إيجاد معادلات الارتفاعات الثلاثة.
- حل المعادلتين الناتجتين عن تقاطع أي ارتفاعين لإيجاد نقطة تقاطعهما، وهي إحداثيات المركز القائم.
الإصلاح:
العدد العشري والغير عشري :
العدد العشري:
هو أي عدد يمكن كتابته باستخدام الفاصلة العشرية، وقد يحتوي على أرقام بعد الفاصلة. يمكن أن يكون عددًا صحيحًا أو كسريًا. أمثلة: 5.2، 3.14، 7.0، 0.75
العدد غير العشري:
هو العدد الذي لا يحتوي على فاصلة عشرية، وهو عدد صحيح بالكامل. أمثلة: 1، 25، 100، -7
كل الأعداد الصحيحة هي غير عشرية، ولكن كل الأعداد العشرية يمكن أن تكون صحيحة إذا لم يكن لها كسور (مثل 7.0 = 7).
تعريف الكسور:
الكسور هي طريقة للتعبير عن الأعداد التي تمثل أجزاءً من كلٍّ. يتكون الكسر من بسط (العدد العلوي) ومقام (العدد السفلي)، ويفصل بينهما خط الكسر (/ أو —).
أنواع الكسور:
- الكسر العادي: مثل 34\frac{3}{4}43، حيث 3 هو البسط و4 هو المقام.
- الكسر العشري: مثل 0.75، وهو شكل عشري للكسر.
- الكسر المختلط: يتكون من عدد صحيح وكسر، مثل 2122\frac{1}{2}221.
- الكسر غير الحقيقي: البسط أكبر من المقام، مثل 73\frac{7}{3}37.
خصائص الكسور:
- يمكن تبسيطها بقسمة البسط والمقام على نفس العدد.
- يمكن تحويلها إلى أعداد عشرية أو نسب مئوية.
- تستخدم في العمليات الحسابية مثل الجمع، الطرح، الضرب، والقسمة.
المثلث المتقايس الأضلاع:
المثلث المتقايس الأضلاع هو المثلث الذي تكون جميع أضلاعه متساوية الطول، وبالتالي تكون جميع زواياه متساوية أيضًا، وكل زاوية منها تساوي \(60^\circ\).
خصائصه:
1. تساوي الأضلاع: جميع الأضلاع لها نفس الطول.
2. تساوي الزوايا: جميع الزوايا الداخلية تساوي \(60^\circ\).
3. تناظر محوري: له **ثلاثة محاور تناظر**، كل منها ينصف زاوية ويقطع الضلع المقابل في المنتصف.
4. تماثل دوراني: يمكن تدويره بزاوية \(120^\circ\) أو \(240^\circ\) حول مركزه ويبقى كما هو.
5. مساحة المثلث: إذا كان طول الضلع \(s\)، فإن مساحته تُحسب بالعلاقة:
\[
A = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2
\]
6. **طول الارتفاع:** يعطى بالعلاقة:
\[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} s
\]
7. الدائرة المحيطة والمحيطة به:
- نصف قطر الدائرة المحيطة: \( R = \frac{s}{\sqrt{3}} \)
- نصف قطر الدائرة الداخلية: \( r = \frac{s}{2\sqrt{3}} \)
أمثلة وتطبيقات:
- يستخدم في تصميم الشعارات والهندسة المعمارية.
- يوجد في التماثلات الطبيعية مثل بلورات الثلج.
- يظهر في الفنون الإسلامية والزخرفة.
مصادر :
للحصول على معلومات دقيقة حول المثلث المتقايس الأضلاع، يمكنك الرجوع إلى المصادر التالية:
- كتاب الهندسة الإقليدية – يمكن العثور عليه في مكتبات الرياضيات أو عبر الإنترنت.
- مواقع تعليم الرياضيات مثل
Khan Academy: https://www.khanacademy.org
Wolfram MathWorld: https://mathworld.wolfram.com
Encyclopedia of Mathematics: https://www.encyclopediaofmath.org